Henry Segerman: Υλική Αρμονία στα Μαθηματικά

2024 Συγγραφέας: Seth Attwood | [email protected]. Τελευταία τροποποίηση: 2023-12-16 16:02

Σύμφωνα με το μύθο, ο Πυθαγόρας ήταν ο πρώτος που ανακάλυψε ότι δύο εξίσου τεντωμένες χορδές εκπέμπουν έναν ευχάριστο ήχο εάν τα μήκη τους σχετίζονται με μικρούς ακέραιους αριθμούς. Από τότε, οι άνθρωποι γοητεύονται από τη μυστηριώδη σύνδεση μεταξύ ομορφιάς και μαθηματικών, μια εντελώς υλική αρμονία μορφών, δονήσεων, συμμετρίας - και μια τέλεια αφαίρεση αριθμών και σχέσεων.

Αυτή η σύνδεση είναι εφήμερη, αλλά απτή· δεν είναι τυχαίο που οι καλλιτέχνες χρησιμοποιούν τους νόμους της γεωμετρίας εδώ και πολλά χρόνια και εμπνέονται από μαθηματικούς νόμους. Ο Χένρι Σέγκερμαν δυσκολεύτηκε να εγκαταλείψει αυτήν την πηγή ιδεών: τελικά, είναι μαθηματικός στο επάγγελμα και στο επάγγελμα.

Μπουκάλι Klein «Κολλώντας νοερά τις άκρες δύο λωρίδων Mobius», λέει ο Henry Segerman, «μπορείτε να πάρετε ένα μπουκάλι Klein, το οποίο έχει επίσης μία επιφάνεια. Εδώ βλέπουμε ένα μπουκάλι Klein κατασκευασμένο από λωρίδες Mobius με στρογγυλή άκρη.

Μάλλον, πώς μπορεί να φαίνεται στον τρισδιάστατο χώρο. Δεδομένου ότι οι αρχικές "στρογγυλές" λωρίδες Mobius πηγαίνουν στο άπειρο, τότε ένα τέτοιο μπουκάλι Klein θα συνεχίσει στο άπειρο δύο φορές και θα σταυρωθεί, κάτι που φαίνεται στο γλυπτό. Ένα μεγεθυσμένο αντίγραφο αυτού του γλυπτού κοσμεί το Τμήμα Μαθηματικών και Στατιστικής του Πανεπιστημίου της Μελβούρνης.

Φράκταλ

«Γεννήθηκα σε μια οικογένεια επιστημόνων και νομίζω ότι το ενδιαφέρον μου για οτιδήποτε απαιτεί προηγμένη χωρική σκέψη σχετίζεται με αυτό», λέει ο Henry. Σήμερα είναι ήδη απόφοιτος των μεταπτυχιακών και διδακτορικών σπουδών της Οξφόρδης στα Πανεπιστήμια του Στάνφορντ και κατέχει τη θέση του Αναπληρωτή Καθηγητή στο Πανεπιστήμιο της Οκλαχόμα.

Αλλά μια επιτυχημένη επιστημονική καριέρα είναι μόνο η μία πλευρά της πολύπλευρης προσωπικότητάς του: πριν από περισσότερα από 12 χρόνια, ο μαθηματικός άρχισε να διοργανώνει εκδηλώσεις τέχνης … στον εικονικό κόσμο του Second Life.

Αυτός ο τρισδιάστατος προσομοιωτής με στοιχεία ενός κοινωνικού δικτύου ήταν τότε πολύ δημοφιλής, επιτρέποντας στους χρήστες όχι μόνο να επικοινωνούν μεταξύ τους, αλλά και να εξοπλίσουν τα εικονικά τους "avatar" και χώρους για ψυχαγωγία, εργασία κ.λπ.

Όνομα: Henry Segerman

Γεννημένος το 1979

Εκπαίδευση: Πανεπιστήμιο Στάνφορντ

Πόλη: Stillwater, ΗΠΑ

Μότο: «Πάρτε μόνο μια ιδέα, αλλά δείξτε τη όσο πιο καθαρά γίνεται».

Ο Σέγκερμαν ήρθε εδώ, οπλισμένος με τύπους και αριθμούς, και τακτοποίησε τον εικονικό του κόσμο με μαθηματικό τρόπο, γεμίζοντάς τον με πρωτοφανείς φράκταλ φιγούρες, σπείρες και ακόμη και τεσεράκτους, τετραδιάστατους υπερκύβους. «Το αποτέλεσμα είναι μια προβολή ενός τετραδιάστατου υπερκύβου στο τρισδιάστατο σύμπαν του Second Life - το οποίο από μόνο του είναι μια προβολή ενός τρισδιάστατου εικονικού κόσμου σε μια δισδιάστατη, επίπεδη οθόνη», σημειώνει ο καλλιτέχνης.

Καμπύλη Hilbert: μια συνεχής γραμμή γεμίζει το χώρο ενός κύβου, χωρίς να διακόπτεται ή να τέμνεται ποτέ με τον εαυτό του.

Οι καμπύλες Hilbert είναι δομές φράκταλ και αν κάνετε μεγέθυνση, μπορείτε να δείτε ότι μέρη αυτής της καμπύλης ακολουθούν το σχήμα του συνόλου. «Τα έχω δει χιλιάδες φορές σε εικονογραφήσεις και μοντέλα υπολογιστών, αλλά όταν πήρα για πρώτη φορά ένα τέτοιο τρισδιάστατο γλυπτό στα χέρια μου, παρατήρησα αμέσως ότι ήταν επίσης ελαστικό», λέει ο Segerman. "Η φυσική ενσάρκωση των μαθηματικών εννοιών είναι πάντα εκπληκτική με κάτι."

Ωστόσο, του άρεσε πολύ περισσότερο να δουλεύει με υλικά γλυπτά. «Υπάρχουν τεράστιοι όγκοι πληροφοριών που κυκλοφορούν γύρω μας όλη την ώρα», λέει ο Segerman. - Ευτυχώς, ο πραγματικός κόσμος έχει πολύ μεγάλο εύρος ζώνης, το οποίο δεν είναι ακόμη διαθέσιμο στον Ιστό.

Δώστε σε ένα άτομο ένα τελειωμένο πράγμα, μια αναπόσπαστη μορφή - και θα το αντιληφθεί αμέσως σε όλη του την πολυπλοκότητα, χωρίς να περιμένει τη φόρτωση. Έτσι, από το 2009, ο Σέγκερμαν έχει δημιουργήσει λίγο περισσότερα από εκατό γλυπτά και καθένα από αυτά είναι μια οπτική και, όσο το δυνατόν, ακριβής φυσική ενσάρκωση αφηρημένων μαθηματικών εννοιών και νόμων.

Πολύεδρα

Η εξέλιξη των καλλιτεχνικών πειραμάτων του Segerman με την τρισδιάστατη εκτύπωση επαναλαμβάνει παράξενα την εξέλιξη των μαθηματικών ιδεών. Ανάμεσα στα πρώτα του πειράματα ήταν τα κλασικά πλατωνικά στερεά, ένα σύνολο πέντε συμμετρικών μορφών, διπλωμένων σε κανονικά τρίγωνα, πεντάγωνα και τετράγωνα. Ακολούθησαν ημικανονικά πολύεδρα - 13 αρχιμήδεια στερεά, των οποίων οι όψεις σχηματίζονται από άνισα κανονικά πολύγωνα.

Το τρισδιάστατο μοντέλο Stanford Rabbit δημιουργήθηκε το 1994. Αποτελούμενο από σχεδόν 70.000 τρίγωνα, χρησιμεύει ως ένα απλό και δημοφιλές τεστ της απόδοσης των αλγορίθμων λογισμικού. Για παράδειγμα, σε ένα κουνέλι, μπορείτε να δοκιμάσετε την αποτελεσματικότητα της συμπίεσης δεδομένων ή της εξομάλυνσης της επιφάνειας για γραφικά υπολογιστή.

Επομένως, για τους ειδικούς, αυτή η φόρμα είναι ίδια με τη φράση "Φάε λίγο ακόμα από αυτά τα μαλακά γαλλικά ρολά" για όσους τους αρέσει να παίζουν με γραμματοσειρές υπολογιστή. Το γλυπτό Stanford Bunny είναι το ίδιο μοντέλο, η επιφάνεια του οποίου είναι στρωμένη με τα γράμματα της λέξης bunny.

Ήδη αυτές οι απλές φόρμες, έχοντας μεταναστεύσει από τη δισδιάστατη εικονογράφηση και τον ιδανικό κόσμο της φαντασίας στην τρισδιάστατη πραγματικότητα, προκαλούν τον εσωτερικό θαυμασμό για τη λακωνική και τέλεια ομορφιά τους. «Η σχέση μεταξύ της μαθηματικής ομορφιάς και της ομορφιάς των εικαστικών ή ηχητικών έργων τέχνης μου φαίνεται πολύ εύθραυστη.

Εξάλλου, πολλοί άνθρωποι γνωρίζουν πολύ καλά τη μία μορφή αυτής της ομορφιάς, χωρίς να καταλαβαίνουν εντελώς την άλλη. Οι μαθηματικές ιδέες μπορούν να μεταφραστούν σε ορατές ή φωνητικές μορφές, αλλά όχι όλες, και όχι τόσο εύκολα όσο μπορεί να φαίνεται», προσθέτει ο Segerman.

Σύντομα, όλο και πιο σύνθετες μορφές ακολούθησαν τις κλασικές μορφές, μέχρι εκείνες που δύσκολα θα μπορούσε να σκεφτεί ο Αρχιμήδης ή ο Πυθαγόρας - κανονικά πολύεδρα που γεμίζουν τον υπερβολικό χώρο του Lobachevsky χωρίς διάστημα.

Τέτοιες φιγούρες με απίστευτα ονόματα όπως "τετραεδρική κηρήθρα τάξης 6" ή "εξαγωνική κηρήθρα μωσαϊκού" δεν μπορούν να φανταστούν χωρίς μια οπτική εικόνα στο χέρι. Ή - ένα από τα γλυπτά του Σέγκερμαν, που τα αντιπροσωπεύουν στον συνηθισμένο τρισδιάστατο ευκλείδειο χώρο μας.

Πλατωνικά στερεά: ένα τετράεδρο, οκτάεδρο και εικοσάεδρο διπλωμένα σε κανονικά τρίγωνα, καθώς και ένας κύβος και ένα εικοσάεδρο που αποτελούνται από τετράγωνα που βασίζονται σε πεντάγωνα.

Ο ίδιος ο Πλάτων τα συνέδεσε με τέσσερα στοιχεία: «λεία» οκταεδρικά σωματίδια, κατά τη γνώμη του, διπλωμένο αέρα, «ρευστά» εικοσάεδρα - νερό, «πυκνοί» κύβοι - γη και αιχμηρά και «ακανθώδη» τρίεδρα - φωτιά. Το πέμπτο στοιχείο, το δωδεκάεδρο, θεωρήθηκε από τον φιλόσοφο ως ένα σωματίδιο του κόσμου των ιδεών.

Η δουλειά του καλλιτέχνη ξεκινά με ένα τρισδιάστατο μοντέλο, το οποίο κατασκευάζει στην επαγγελματική συσκευασία Rhinoceros. Σε γενικές γραμμές, έτσι τελειώνει: η ίδια η παραγωγή γλυπτών, η εκτύπωση του μοντέλου σε έναν 3D εκτυπωτή, Ο Henry απλώς παραγγέλνει μέσω του Shapeways, μιας μεγάλης διαδικτυακής κοινότητας λάτρεις της τρισδιάστατης εκτύπωσης, και λαμβάνει ένα έτοιμο αντικείμενο από πλαστικό ή σύνθετα υλικά μεταλλικής μήτρας με βάση το χάλυβα. «Είναι πολύ εύκολο», λέει. "Απλώς ανεβάζετε ένα μοντέλο στον ιστότοπο, κάνετε κλικ στο κουμπί Προσθήκη στο καλάθι, κάνετε μια παραγγελία και σε μερικές εβδομάδες θα σας παραδοθεί ταχυδρομικώς."

Σχήμα Οκτώ Συμπλήρωμα Φανταστείτε να δένετε έναν κόμπο μέσα σε ένα στερεό και μετά να το αφαιρείτε. η εναπομείνασα κοιλότητα ονομάζεται συμπλήρωμα του κόμβου. Αυτό το μοντέλο δείχνει την προσθήκη ενός από τους απλούστερους κόμβους, το σχήμα οκτώ.

ομορφιά

Τελικά, η εξέλιξη των μαθηματικών γλυπτών του Segerman μας μεταφέρει στο πολύπλοκο και μαγευτικό πεδίο της τοπολογίας. Αυτός ο κλάδος των μαθηματικών μελετά τις ιδιότητες και τις παραμορφώσεις επίπεδων επιφανειών και χώρων διαφορετικών διαστάσεων και τα ευρύτερα χαρακτηριστικά τους είναι σημαντικά για αυτόν παρά για την κλασική γεωμετρία.

Εδώ, ένας κύβος μπορεί εύκολα να μετατραπεί σε μπάλα, όπως η πλαστελίνη, και ένα φλιτζάνι με μια λαβή μπορεί να τυλιχτεί σε ντόνατ χωρίς να σπάσει τίποτα σημαντικό σε αυτά - ένα πολύ γνωστό παράδειγμα που ενσωματώνεται στο κομψό Τοπολογικό Ανέκδοτο του Segerman.

Το tesseract είναι ένας τετραδιάστατος κύβος: όπως ένα τετράγωνο μπορεί να ληφθεί μετατοπίζοντας ένα τμήμα κάθετο σε αυτό σε απόσταση ίση με το μήκος του, ένας κύβος μπορεί να ληφθεί αντιγράφοντας ένα τετράγωνο σε τρεις διαστάσεις και μετακινώντας έναν κύβο στο τέταρτο, θα «ζωγραφίσουμε» ένα τεσεράκτο, ή υπερκύβο. Θα έχει 16 κορυφές και 24 όψεις, οι προβολές των οποίων στον τρισδιάστατο χώρο μας μοιάζουν ελάχιστα με έναν κανονικό τρισδιάστατο κύβο.

"Στα μαθηματικά, η αισθητική αίσθηση είναι πολύ σημαντική, οι μαθηματικοί αγαπούν τα" όμορφα "θεωρήματα", υποστηρίζει ο καλλιτέχνης. - Είναι δύσκολο να προσδιοριστεί σε τι ακριβώς συνίσταται αυτή η ομορφιά, όπως, μάλιστα, σε άλλες περιπτώσεις. Αλλά θα έλεγα ότι η ομορφιά του θεωρήματος βρίσκεται στην απλότητά του, που σας επιτρέπει να καταλάβετε κάτι, να δείτε μερικές απλές συνδέσεις που προηγουμένως φαίνονταν απίστευτα περίπλοκες.

Στην καρδιά της μαθηματικής ομορφιάς μπορεί να είναι ο καθαρός, αποτελεσματικός μινιμαλισμός - και ένα έκπληκτο επιφώνημα "Αχα!". Η βαθιά ομορφιά των μαθηματικών μπορεί να είναι τόσο τρομακτική όσο η παγωμένη αιωνιότητα του παλατιού της Βασίλισσας του Χιονιού. Ωστόσο, όλη αυτή η ψυχρή αρμονία αντανακλά πάντα την εσωτερική τάξη και κανονικότητα του Σύμπαντος στο οποίο ζούμε. Τα μαθηματικά είναι απλώς μια γλώσσα που ταιριάζει αναμφισβήτητα σε αυτόν τον κομψό και περίπλοκο κόσμο.

Παραδόξως, περιέχει φυσικές αντιστοιχίες και εφαρμογές για σχεδόν οποιαδήποτε δήλωση στη γλώσσα των μαθηματικών τύπων και σχέσεων. Ακόμα και οι πιο αφηρημένες και «τεχνητές» κατασκευές αργά ή γρήγορα θα βρουν εφαρμογή στον πραγματικό κόσμο.

Ένα τοπολογικό αστείο: από μια ορισμένη άποψη, οι επιφάνειες ενός κύκλου και ενός ντόνατ είναι «ίδιες», ή, πιο συγκεκριμένα, είναι ομοιομορφικές, αφού μπορούν να μεταμορφωθούν η μία στην άλλη χωρίς σπασίματα και κόλλες, λόγω σταδιακή παραμόρφωση.

Η Ευκλείδεια γεωμετρία έγινε αντανάκλαση του κλασικού ακίνητου κόσμου, ο διαφορικός λογισμός ήταν χρήσιμος για τη Νευτώνεια φυσική. Η απίστευτη μέτρηση του Ρίμαν, όπως αποδείχθηκε, είναι απαραίτητη για να περιγράψει το ασταθές σύμπαν του Αϊνστάιν και οι πολυδιάστατοι υπερβολικοί χώροι έχουν βρει εφαρμογή στη θεωρία χορδών.

Σε αυτή την περίεργη αντιστοιχία των αφηρημένων υπολογισμών και των αριθμών με τα θεμέλια της πραγματικότητάς μας, ίσως, βρίσκεται το μυστικό της ομορφιάς που αναγκαστικά νιώθουμε πίσω από όλους τους ψυχρούς υπολογισμούς των μαθηματικών.