Τι είναι τα φράκταλ: η ομορφιά των μαθηματικών και το άπειρο

2024 Συγγραφέας: Seth Attwood | [email protected]. Τελευταία τροποποίηση: 2023-12-16 16:02

Τα φράκταλ είναι γνωστά εδώ και έναν αιώνα, έχουν μελετηθεί καλά και έχουν πολυάριθμες εφαρμογές στη ζωή. Ωστόσο, αυτό το φαινόμενο βασίζεται σε μια πολύ απλή ιδέα: ένα πλήθος σχημάτων, άπειρων σε ομορφιά και ποικιλία, μπορεί να ληφθεί από σχετικά απλές δομές χρησιμοποιώντας μόνο δύο λειτουργίες - αντιγραφή και κλιμάκωση.

Τι κοινό έχουν ένα δέντρο, μια ακρογιαλιά, ένα σύννεφο ή αιμοφόρα αγγεία στο χέρι μας; Με την πρώτη ματιά, μπορεί να φαίνεται ότι όλα αυτά τα αντικείμενα δεν έχουν τίποτα κοινό. Ωστόσο, στην πραγματικότητα, υπάρχει μια ιδιότητα δομής που είναι εγγενής σε όλα τα αναφερόμενα αντικείμενα: είναι ίδια. Από το κλαδί, όπως και από τον κορμό του δέντρου, υπάρχουν μικρότερα κλαδιά, από αυτά -ακόμα μικρότερα κ.λπ., δηλαδή το κλαδί είναι σαν ολόκληρο το δέντρο.

Το κυκλοφορικό σύστημα είναι διατεταγμένο με παρόμοιο τρόπο: τα αρτηρίδια αναχωρούν από τις αρτηρίες και από αυτά - τα μικρότερα τριχοειδή αγγεία μέσω των οποίων το οξυγόνο εισέρχεται στα όργανα και τους ιστούς. Ας δούμε δορυφορικές εικόνες της θαλάσσιας ακτής: θα δούμε όρμους και χερσονήσους. Ας ρίξουμε μια ματιά σε αυτό, αλλά από ψηλά: θα δούμε όρμους και ακρωτήρια. Τώρα ας φανταστούμε ότι στεκόμαστε στην παραλία και κοιτάμε τα πόδια μας: πάντα υπάρχουν βότσαλα που προεξέχουν στο νερό πιο μακριά από τα υπόλοιπα.

Δηλαδή, η ακτογραμμή παραμένει παρόμοια με την ίδια όταν γίνεται μεγέθυνση. Ο Αμερικανός (αν και μεγαλωμένος στη Γαλλία) μαθηματικός Benoit Mandelbrot ονόμασε αυτή την ιδιότητα των αντικειμένων φρακταλικότητα, και τέτοια αντικείμενα τα ίδια - φράκταλ (από το λατινικό fractus - σπασμένα).

Τι είναι ένα φράκταλ;

Αυτή η έννοια δεν έχει αυστηρό ορισμό. Επομένως, η λέξη «φράκταλ» δεν είναι μαθηματικός όρος. Συνήθως, ένα φράκταλ είναι ένα γεωμετρικό σχήμα που ικανοποιεί μία ή περισσότερες από τις ακόλουθες ιδιότητες: • Έχει πολύπλοκη δομή σε οποιαδήποτε μεγέθυνση (σε αντίθεση, για παράδειγμα, με μια ευθεία γραμμή, οποιοδήποτε μέρος της είναι το απλούστερο γεωμετρικό σχήμα - α ευθύγραμμο τμήμα). • Είναι (περίπου) αυτο-όμοιο. • Έχει κλασματική διάσταση Hausdorff (fractal), η οποία είναι μεγαλύτερη από την τοπολογική. • Μπορεί να κατασκευαστεί με αναδρομικές διαδικασίες.

Γεωμετρία και Άλγεβρα

Η μελέτη των φράκταλ στις αρχές του 19ου και του 20ου αιώνα ήταν μάλλον επεισοδιακή παρά συστηματική, επειδή οι προηγούμενοι μαθηματικοί μελετούσαν κυρίως «καλά» αντικείμενα που ήταν επιδεκτικά έρευνας χρησιμοποιώντας γενικές μεθόδους και θεωρίες. Το 1872, ο Γερμανός μαθηματικός Karl Weierstrass κατασκευάζει ένα παράδειγμα συνεχούς συνάρτησης που δεν μπορεί να διαφοροποιηθεί πουθενά. Ωστόσο, η κατασκευή του ήταν εντελώς αφηρημένη και δύσκολο να γίνει αντιληπτή.

Ως εκ τούτου, το 1904, ο Σουηδός Helge von Koch εφηύρε μια συνεχή καμπύλη, η οποία δεν έχει εφαπτομένη πουθενά, και είναι αρκετά απλό να σχεδιάσει. Αποδείχθηκε ότι έχει τις ιδιότητες ενός φράκταλ. Μία από τις παραλλαγές αυτής της καμπύλης ονομάζεται "νιφάδα χιονιού Koch".

Τις ιδέες της αυτο-ομοιότητας των μορφών πήρε ο Γάλλος Paul Pierre Levy, ο μελλοντικός μέντορας του Benoit Mandelbrot. Το 1938, δημοσίευσε το άρθρο του «Επίπεδες και χωρικές καμπύλες και επιφάνειες, που αποτελούνται από μέρη παρόμοια με το σύνολο», το οποίο περιγράφει ένα άλλο φράκταλ - την καμπύλη C Lévy. Όλα αυτά τα παραπάνω φράκταλ μπορούν υπό όρους να αποδοθούν σε μια κατηγορία κατασκευαστικών (γεωμετρικών) φράκταλ.

Μια άλλη κατηγορία είναι τα δυναμικά (αλγεβρικά) φράκταλ, τα οποία περιλαμβάνουν το σύνολο Mandelbrot. Οι πρώτες μελέτες προς αυτή την κατεύθυνση ξεκίνησαν στις αρχές του 20ου αιώνα και συνδέονται με τα ονόματα των Γάλλων μαθηματικών Gaston Julia και Pierre Fatou. Το 1918, δημοσιεύτηκαν τα απομνημονεύματα της Τζούλιας σχεδόν διακοσίων σελίδων, αφιερωμένα σε επαναλήψεις πολύπλοκων ορθολογικών συναρτήσεων, στα οποία περιγράφονταν τα σύνολα της Τζούλιας - μια ολόκληρη οικογένεια φράκταλ στενά συνδεδεμένη με το σύνολο του Mandelbrot. Αυτό το έργο τιμήθηκε με το βραβείο της Γαλλικής Ακαδημίας, αλλά δεν περιείχε ούτε μια εικονογράφηση, επομένως ήταν αδύνατο να εκτιμηθεί η ομορφιά των αντικειμένων που ανακαλύφθηκαν.

Παρά το γεγονός ότι αυτό το έργο δόξασε την Τζούλια ανάμεσα στους μαθηματικούς της εποχής, γρήγορα ξεχάστηκε. Μόλις μισό αιώνα αργότερα, οι υπολογιστές ήρθαν ξανά στην προσοχή: ήταν αυτοί που έκαναν ορατό τον πλούτο και την ομορφιά του κόσμου των φράκταλ.

Διαστάσεις φράκταλ

Όπως γνωρίζετε, η διάσταση (αριθμός μετρήσεων) ενός γεωμετρικού σχήματος είναι ο αριθμός των συντεταγμένων που απαιτούνται για τον προσδιορισμό της θέσης ενός σημείου που βρίσκεται σε αυτό το σχήμα.

Για παράδειγμα, η θέση ενός σημείου σε μια καμπύλη καθορίζεται από μια συντεταγμένη, σε μια επιφάνεια (όχι απαραίτητα ένα επίπεδο) από δύο συντεταγμένες, στον τρισδιάστατο χώρο από τρεις συντεταγμένες.

Από μια γενικότερη μαθηματική άποψη, μπορείτε να ορίσετε τη διάσταση με αυτόν τον τρόπο: μια αύξηση στις γραμμικές διαστάσεις, ας πούμε, δύο φορές, για μονοδιάστατα (από τοπολογική άποψη) αντικείμενα (τμήμα) οδηγεί σε αύξηση του μεγέθους (μήκος) δύο φορές, για δισδιάστατο (τετράγωνο) η ίδια αύξηση των γραμμικών διαστάσεων οδηγεί σε αύξηση του μεγέθους (εμβαδού) κατά 4 φορές, για το τρισδιάστατο (κύβος) - κατά 8 φορές. Δηλαδή, η «πραγματική» (το λεγόμενη Hausdorff) διάσταση μπορεί να υπολογιστεί ως ο λόγος του λογαρίθμου μιας αύξησης στο «μέγεθος» ενός αντικειμένου προς τον λογάριθμο μιας αύξησης στο γραμμικό του μέγεθος. Δηλαδή, για το τμήμα D = log (2) / log (2) = 1, για το επίπεδο D = log (4) / log (2) = 2, για τον όγκο D = log (8) / log (2) = 3.

Ας υπολογίσουμε τώρα τη διάσταση της καμπύλης Koch, για την κατασκευή της οποίας το μοναδιαίο τμήμα χωρίζεται σε τρία ίσα μέρη και το μεσαίο διάστημα αντικαθίσταται από ένα ισόπλευρο τρίγωνο χωρίς αυτό το τμήμα. Με αύξηση των γραμμικών διαστάσεων του ελάχιστου τμήματος τρεις φορές, το μήκος της καμπύλης Koch αυξάνεται σε log (4) / log (3) ~ 1, 26. Δηλαδή, η διάσταση της καμπύλης Koch είναι κλασματική!

Επιστήμη και τέχνη

Το 1982 κυκλοφόρησε το βιβλίο του Mandelbrot «The Fractal Geometry of Nature», στο οποίο ο συγγραφέας συγκέντρωσε και συστηματοποίησε σχεδόν όλες τις διαθέσιμες πληροφορίες εκείνη την εποχή για τα φράκταλ και τις παρουσίασε με εύκολο και προσιτό τρόπο. Στην παρουσίασή του, ο Mandelbrot έδωσε την κύρια έμφαση όχι σε δυσκίνητους τύπους και μαθηματικές κατασκευές, αλλά στη γεωμετρική διαίσθηση των αναγνωστών. Χάρη σε εικονογραφήσεις που δημιουργήθηκαν από υπολογιστή και ιστορικές ιστορίες, με τις οποίες ο συγγραφέας αραίωσε επιδέξια το επιστημονικό στοιχείο της μονογραφίας, το βιβλίο έγινε μπεστ σέλερ και τα φράκταλ έγιναν γνωστά στο ευρύ κοινό.

Η επιτυχία τους μεταξύ των μη μαθηματικών οφείλεται σε μεγάλο βαθμό στο γεγονός ότι με τη βοήθεια πολύ απλών κατασκευών και τύπων που μπορεί να καταλάβει ένας μαθητής λυκείου, αποκτώνται εικόνες εκπληκτικής πολυπλοκότητας και ομορφιάς. Όταν οι προσωπικοί υπολογιστές έγιναν αρκετά ισχυροί, εμφανίστηκε ακόμη και μια ολόκληρη τάση στην τέχνη - φράκταλ ζωγραφική, και σχεδόν οποιοσδήποτε ιδιοκτήτης υπολογιστή μπορούσε να το κάνει. Τώρα στο Διαδίκτυο, μπορείτε εύκολα να βρείτε πολλούς ιστότοπους αφιερωμένους σε αυτό το θέμα.

Πόλεμος και ειρήνη

Όπως σημειώθηκε παραπάνω, ένα από τα φυσικά αντικείμενα με ιδιότητες φράκταλ είναι η ακτογραμμή. Μια ενδιαφέρουσα ιστορία συνδέεται μαζί του, ή μάλλον, με μια προσπάθεια μέτρησης του μήκους της, η οποία αποτέλεσε τη βάση του επιστημονικού άρθρου του Mandelbrot και περιγράφεται επίσης στο βιβλίο του "The Fractal Geometry of Nature".

Αυτό είναι ένα πείραμα που οργανώθηκε από τον Lewis Richardson, έναν πολύ ταλαντούχο και εκκεντρικό μαθηματικό, φυσικό και μετεωρολόγο. Μία από τις κατευθύνσεις της έρευνάς του ήταν μια προσπάθεια να βρει μια μαθηματική περιγραφή των αιτιών και της πιθανότητας μιας ένοπλης σύγκρουσης μεταξύ των δύο χωρών. Μεταξύ των παραμέτρων που έλαβε υπόψη του ήταν το μήκος των κοινών συνόρων των δύο αντιμαχόμενων χωρών. Όταν συνέλεξε δεδομένα για αριθμητικά πειράματα, διαπίστωσε ότι σε διαφορετικές πηγές τα δεδομένα για τα κοινά σύνορα μεταξύ Ισπανίας και Πορτογαλίας είναι πολύ διαφορετικά.

Αυτό τον ώθησε να ανακαλύψει το εξής: το μήκος των συνόρων μιας χώρας εξαρτάται από τον χάρακα με τον οποίο τα μετράμε. Όσο μικρότερη είναι η κλίμακα, τόσο μεγαλύτερο είναι το περίγραμμα. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι με μεγαλύτερη μεγέθυνση καθίσταται δυνατό να ληφθούν υπόψη όλο και περισσότερες παράκτιες στροφές, οι οποίες προηγουμένως αγνοούνταν λόγω της τραχύτητας των μετρήσεων. Και αν, με κάθε αύξηση της κλίμακας, ανοίγουν οι στροφές των γραμμών που δεν είχαν καταγραφεί προηγουμένως, τότε αποδεικνύεται ότι το μήκος των ορίων είναι άπειρο! Είναι αλήθεια ότι στην πραγματικότητα αυτό δεν συμβαίνει - η ακρίβεια των μετρήσεών μας έχει ένα πεπερασμένο όριο. Αυτό το παράδοξο ονομάζεται φαινόμενο Richardson.

Κατασκευαστικά (γεωμετρικά) φράκταλ

Ο αλγόριθμος για την κατασκευή ενός κατασκευαστικού φράκταλ στη γενική περίπτωση είναι ο εξής. Πρώτα απ 'όλα, χρειαζόμαστε δύο κατάλληλα γεωμετρικά σχήματα, ας τα ονομάσουμε βάση και θραύσμα. Στο πρώτο στάδιο, απεικονίζεται η βάση του μελλοντικού φράκταλ. Στη συνέχεια, ορισμένα από τα μέρη του αντικαθίστανται με ένα θραύσμα που λαμβάνεται σε κατάλληλη κλίμακα - αυτή είναι η πρώτη επανάληψη της κατασκευής. Στη συνέχεια, το σχήμα που προκύπτει αλλάζει και πάλι μερικά μέρη σε σχήματα παρόμοια με ένα θραύσμα, και ούτω καθεξής. Αν συνεχίσουμε αυτή τη διαδικασία επ' αόριστον, τότε στο όριο παίρνουμε ένα φράκταλ.

Ας εξετάσουμε αυτή τη διαδικασία χρησιμοποιώντας την καμπύλη Koch ως παράδειγμα. Ως βάση για την καμπύλη Koch, μπορείτε να πάρετε οποιαδήποτε καμπύλη (για τη "νιφάδα χιονιού Koch" είναι ένα τρίγωνο). Αλλά θα περιοριστούμε στην απλούστερη περίπτωση - ένα τμήμα. Ένα θραύσμα είναι μια διακεκομμένη γραμμή που φαίνεται στο επάνω μέρος του σχήματος. Μετά την πρώτη επανάληψη του αλγορίθμου, σε αυτήν την περίπτωση, το αρχικό τμήμα θα συμπίπτει με το θραύσμα, στη συνέχεια κάθε ένα από τα τμήματα που το αποτελούν θα αντικατασταθεί από μια διακεκομμένη γραμμή, παρόμοια με ένα θραύσμα, κ.λπ. Το σχήμα δείχνει τα πρώτα τέσσερα βήματα του αυτή η διαδικασία.

Στη γλώσσα των μαθηματικών: δυναμικά (αλγεβρικά) φράκταλ

Τα φράκταλ αυτού του τύπου προκύπτουν στη μελέτη μη γραμμικών δυναμικών συστημάτων (εξ ου και το όνομα). Η συμπεριφορά ενός τέτοιου συστήματος μπορεί να περιγραφεί από μια σύνθετη μη γραμμική συνάρτηση (πολυώνυμο) f (z). Πάρτε κάποιο σημείο εκκίνησης z0 στο μιγαδικό επίπεδο (βλ. πλαϊνή γραμμή). Τώρα θεωρήστε μια τέτοια άπειρη ακολουθία αριθμών στο μιγαδικό επίπεδο, καθένα από τα ακόλουθα λαμβάνεται από το προηγούμενο: z0, z1 = f (z0), z2 = f (z1),… zn + 1 = f (zn).

Ανάλογα με το αρχικό σημείο z0, μια τέτοια ακολουθία μπορεί να συμπεριφέρεται διαφορετικά: τείνει στο άπειρο ως n -> ∞; συγκλίνουν σε κάποιο τελικό σημείο. κυκλικά πάρτε έναν αριθμό σταθερών τιμών. είναι επίσης δυνατές πιο σύνθετες επιλογές.

Μιγαδικοί αριθμοί

Ένας μιγαδικός αριθμός είναι ένας αριθμός που αποτελείται από δύο μέρη - πραγματικό και φανταστικό, δηλαδή το τυπικό άθροισμα x + iy (εδώ x και y είναι πραγματικοί αριθμοί). είμαι το λεγόμενο. νοητή μονάδα, δηλαδή έναν αριθμό που ικανοποιεί την εξίσωση i ^ 2 = -1. Οι βασικές μαθηματικές πράξεις ορίζονται σε μιγαδικούς αριθμούς - πρόσθεση, πολλαπλασιασμός, διαίρεση, αφαίρεση (μόνο η πράξη σύγκρισης δεν ορίζεται). Για την εμφάνιση μιγαδικών αριθμών, χρησιμοποιείται συχνά μια γεωμετρική αναπαράσταση - στο επίπεδο (λέγεται μιγαδικός), το πραγματικό μέρος τοποθετείται στην τετμημένη και το φανταστικό μέρος στην τεταγμένη, ενώ ο μιγαδικός αριθμός θα αντιστοιχεί σε ένα σημείο με το καρτεσιανό συντεταγμένες x και y.

Έτσι, οποιοδήποτε σημείο z του μιγαδικού επιπέδου έχει τον δικό του χαρακτήρα συμπεριφοράς κατά τις επαναλήψεις της συνάρτησης f (z), και ολόκληρο το επίπεδο χωρίζεται σε μέρη. Σε αυτή την περίπτωση, τα σημεία που βρίσκονται στα όρια αυτών των τμημάτων έχουν την ακόλουθη ιδιότητα: για μια αυθαίρετα μικρή μετατόπιση, η φύση της συμπεριφοράς τους αλλάζει απότομα (τέτοια σημεία ονομάζονται σημεία διακλάδωσης). Έτσι, αποδεικνύεται ότι σύνολα σημείων με έναν συγκεκριμένο τύπο συμπεριφοράς, καθώς και σύνολα σημείων διακλάδωσης, έχουν συχνά φράκταλ ιδιότητες. Αυτά είναι τα σύνολα Julia για τη συνάρτηση f (z).

Οικογένεια δράκων

Μεταβάλλοντας τη βάση και το θραύσμα, μπορείτε να αποκτήσετε μια εκπληκτική ποικιλία εποικοδομητικών φράκταλ.

Επιπλέον, παρόμοιες λειτουργίες μπορούν να εκτελεστούν σε τρισδιάστατο χώρο. Παραδείγματα ογκομετρικών φράκταλ είναι το σφουγγάρι του Menger, η πυραμίδα Sierpinski και άλλα.

Η οικογένεια των δράκων αναφέρεται επίσης ως εποικοδομητικά φράκταλ. Μερικές φορές αποκαλούνται με το όνομα των ανακαλύψεων «δράκοι του αυτοκινητόδρομου-Χάρτερ» (με τη μορφή τους μοιάζουν με κινέζικους δράκους). Υπάρχουν διάφοροι τρόποι για να σχεδιάσετε αυτήν την καμπύλη. Το πιο απλό και διαισθητικό από αυτά είναι το εξής: πρέπει να πάρετε μια αρκετά μεγάλη λωρίδα χαρτιού (όσο πιο λεπτό είναι το χαρτί, τόσο το καλύτερο) και να το διπλώσετε στη μέση. Στη συνέχεια, λυγίστε το ξανά δύο φορές προς την ίδια κατεύθυνση με την πρώτη φορά.

Μετά από αρκετές επαναλήψεις (συνήθως μετά από πέντε ή έξι διπλώσεις, η λωρίδα γίνεται πολύ παχιά για να λυγίσει περαιτέρω), πρέπει να ξελυγίσετε τη λωρίδα προς τα πίσω και να προσπαθήσετε να σχηματίσετε γωνίες 90˚ στις πτυχές. Τότε η καμπύλη του δράκου θα βγει σε προφίλ. Φυσικά, αυτό θα είναι μόνο μια προσέγγιση, όπως όλες οι προσπάθειές μας να απεικονίσουμε αντικείμενα φράκταλ. Ο υπολογιστής σας επιτρέπει να απεικονίσετε πολλά περισσότερα βήματα σε αυτή τη διαδικασία και το αποτέλεσμα είναι μια πολύ όμορφη φιγούρα.

Το σετ Mandelbrot είναι κατασκευασμένο με λίγο διαφορετικό τρόπο. Θεωρήστε τη συνάρτηση fc (z) = z ^ 2 + c, όπου c είναι μιγαδικός αριθμός. Ας κατασκευάσουμε μια ακολουθία αυτής της συνάρτησης με z0 = 0, ανάλογα με την παράμετρο c, μπορεί να αποκλίνει στο άπειρο ή να παραμείνει περιορισμένη. Επιπλέον, όλες οι τιμές του c για τις οποίες οριοθετείται αυτή η ακολουθία σχηματίζουν το σύνολο Mandelbrot. Μελετήθηκε λεπτομερώς από τον ίδιο τον Mandelbrot και άλλους μαθηματικούς, οι οποίοι ανακάλυψαν πολλές ενδιαφέρουσες ιδιότητες αυτού του συνόλου.

Φαίνεται ότι οι ορισμοί των σετ Julia και Mandelbrot είναι παρόμοιοι μεταξύ τους. Στην πραγματικότητα, αυτά τα δύο σύνολα συνδέονται στενά. Δηλαδή, το σύνολο Mandelbrot είναι όλες οι τιμές της μιγαδικής παραμέτρου c για την οποία είναι συνδεδεμένο το σύνολο Julia fc (z) (ένα σύνολο ονομάζεται συνδεδεμένο εάν δεν μπορεί να χωριστεί σε δύο χωριστά μέρη, με ορισμένες πρόσθετες προϋποθέσεις).

Φράκταλ και ζωή

Σήμερα, η θεωρία των φράκταλ χρησιμοποιείται ευρέως σε διάφορους τομείς της ανθρώπινης δραστηριότητας. Εκτός από ένα καθαρά επιστημονικό αντικείμενο για έρευνα και την ήδη αναφερθείσα φράκταλ ζωγραφική, τα φράκταλ χρησιμοποιούνται στη θεωρία πληροφοριών για τη συμπίεση γραφικών δεδομένων (εδώ χρησιμοποιείται κυρίως η ιδιότητα αυτο-ομοιότητας των φράκταλ - τέλος πάντων, για να θυμόμαστε ένα μικρό κομμάτι ένα σχέδιο και μετασχηματισμοί με τα οποία μπορείτε να αποκτήσετε τα υπόλοιπα μέρη, απαιτείται πολύ λιγότερη μνήμη παρά για την αποθήκευση ολόκληρου του αρχείου).

Προσθέτοντας τυχαίες διαταραχές στους τύπους που ορίζουν το φράκταλ, μπορεί κανείς να αποκτήσει στοχαστικά φράκταλ που μεταφέρουν πολύ εύλογα ορισμένα πραγματικά αντικείμενα - στοιχεία ανακούφισης, την επιφάνεια των υδάτινων σωμάτων, ορισμένα φυτά, τα οποία χρησιμοποιούνται με επιτυχία στη φυσική, τη γεωγραφία και τα γραφικά υπολογιστών για να επιτύχουν περισσότερα ομοιότητα προσομοιωμένων αντικειμένων με πραγματικές. Στα ηλεκτρονικά, παράγονται κεραίες που έχουν σχήμα φράκταλ. Καταλαμβάνοντας λίγο χώρο, παρέχουν αρκετά υψηλής ποιότητας λήψη σήματος.

Οι οικονομολόγοι χρησιμοποιούν φράκταλ για να περιγράψουν τις καμπύλες συναλλαγματικών ισοτιμιών (ιδιότητα που ανακάλυψε ο Mandelbrot). Αυτό ολοκληρώνει αυτή τη μικρή εκδρομή στον εκπληκτικά όμορφο και ποικιλόμορφο κόσμο των φράκταλ.