Επίπεδο, σφαιρικό ή υπερβολικό σχήμα του Σύμπαντος μας;

2024 Συγγραφέας: Seth Attwood | [email protected]. Τελευταία τροποποίηση: 2023-12-16 16:02

Κατά την άποψή μας, το σύμπαν είναι άπειρο. Σήμερα γνωρίζουμε ότι η Γη έχει το σχήμα σφαίρας, αλλά σπάνια σκεφτόμαστε το σχήμα του Σύμπαντος. Στη γεωμετρία, υπάρχουν πολλά τρισδιάστατα σχήματα ως εναλλακτική στον «οικείο» άπειρο χώρο. Οι συγγραφείς εξηγούν τη διαφορά με την πιο προσιτή μορφή.

Κοιτάζοντας τον νυχτερινό ουρανό, φαίνεται ότι το διάστημα συνεχίζεται για πάντα προς όλες τις κατευθύνσεις. Έτσι φανταζόμαστε το Σύμπαν - αλλά όχι το γεγονός ότι είναι αλήθεια. Άλλωστε, υπήρξε μια εποχή που όλοι νόμιζαν ότι η Γη ήταν επίπεδη: η καμπυλότητα της επιφάνειας της γης είναι ανεπαίσθητη και η ιδέα ότι η Γη είναι στρογγυλή φαινόταν ακατανόητη.

Σήμερα γνωρίζουμε ότι η Γη έχει σχήμα σφαίρας. Αλλά σπάνια σκεφτόμαστε το σχήμα του σύμπαντος. Καθώς η σφαίρα αντικατέστησε την επίπεδη γη, άλλες τρισδιάστατες μορφές προσφέρουν εναλλακτικές λύσεις στον «οικείο» άπειρο χώρο.

Δύο ερωτήσεις μπορούν να τεθούν για το σχήμα του σύμπαντος - ξεχωριστές αλλά αλληλένδετες. Το ένα αφορά τη γεωμετρία - σχολαστικούς υπολογισμούς γωνιών και εμβαδών. Ένα άλλο αφορά την τοπολογία: πώς χωριστά μέρη συγχωνεύονται σε μια ενιαία μορφή.

Κοσμολογικά δεδομένα υποδηλώνουν ότι το ορατό μέρος του Σύμπαντος είναι λείο και ομοιογενές. Η τοπική δομή του χώρου μοιάζει σχεδόν η ίδια σε κάθε σημείο και προς κάθε κατεύθυνση. Μόνο τρία γεωμετρικά σχήματα αντιστοιχούν σε αυτά τα χαρακτηριστικά - επίπεδα, σφαιρικά και υπερβολικά. Ας ρίξουμε μια ματιά σε αυτά τα σχήματα με τη σειρά τους, μερικές τοπολογικές εκτιμήσεις και συμπεράσματα βασισμένα σε κοσμολογικά δεδομένα.

Επίπεδο σύμπαν

Στην πραγματικότητα, αυτή είναι η σχολική γεωμετρία. Οι γωνίες ενός τριγώνου αθροίζονται έως και 180 μοίρες και το εμβαδόν ενός κύκλου είναι πr2. Το απλούστερο παράδειγμα ενός επίπεδου τρισδιάστατου σχήματος είναι ένας συνηθισμένος άπειρος χώρος, οι μαθηματικοί τον αποκαλούν Ευκλείδειο, αλλά υπάρχουν και άλλες επίπεδες επιλογές.

Δεν είναι εύκολο να φανταστούμε αυτά τα σχήματα, αλλά μπορούμε να συνδέσουμε τη διαίσθησή μας σκεπτόμενοι σε δύο διαστάσεις αντί για τρεις. Εκτός από το συνηθισμένο ευκλείδειο επίπεδο, μπορούμε να δημιουργήσουμε άλλα επίπεδα σχήματα κόβοντας ένα κομμάτι του επιπέδου και κολλώντας τις άκρες του. Ας υποθέσουμε ότι κόψαμε ένα ορθογώνιο κομμάτι χαρτί και κολλήσαμε τις απέναντι άκρες του με ταινία. Εάν κολλήσετε την επάνω άκρη στην κάτω άκρη, θα πάρετε έναν κύλινδρο.

Μπορείτε επίσης να κολλήσετε τη δεξιά άκρη προς τα αριστερά - τότε παίρνουμε ένα ντόνατ (οι μαθηματικοί αποκαλούν αυτό το σχήμα torus).

Μάλλον θα αντιρρήσεις: «Κάτι δεν είναι πολύ επίπεδο». Και θα έχεις δίκιο. Απατούσαμε λίγο για το επίπεδο torus. Εάν προσπαθήσετε πραγματικά να φτιάξετε έναν τόρο από ένα κομμάτι χαρτί με αυτόν τον τρόπο, θα αντιμετωπίσετε κάποιες δυσκολίες. Είναι εύκολο να φτιάξετε έναν κύλινδρο, αλλά δεν θα λειτουργήσει για να κολλήσετε τα άκρα του: το χαρτί θα τσαλακωθεί κατά μήκος του εσωτερικού κύκλου του τόρου, αλλά δεν θα είναι αρκετό για τον εξωτερικό κύκλο. Πρέπει λοιπόν να πάρετε κάποιο είδος ελαστικού υλικού. Αλλά το τέντωμα αλλάζει το μήκος και τις γωνίες, άρα και ολόκληρη τη γεωμετρία.

Είναι αδύνατο να κατασκευαστεί ένας πραγματικός λείος φυσικός δακτύλιος από ένα επίπεδο υλικό μέσα σε έναν συνηθισμένο τρισδιάστατο χώρο χωρίς να παραμορφωθεί η γεωμετρία. Απομένει να κάνουμε εικασίες αφηρημένα για το πώς είναι να ζεις μέσα σε έναν επίπεδο τόρο.

Φανταστείτε ότι είστε ένα δισδιάστατο ον του οποίου το σύμπαν είναι ένας επίπεδος τόρος. Δεδομένου ότι το σχήμα αυτού του σύμπαντος βασίζεται σε ένα επίπεδο φύλλο χαρτιού, όλα τα γεωμετρικά δεδομένα που έχουμε συνηθίσει να παραμένουν ίδια - τουλάχιστον σε περιορισμένη κλίμακα: οι γωνίες ενός τριγώνου αθροίζονται έως και 180 μοίρες κ.λπ. Αλλά με την αλλαγή στην παγκόσμια τοπολογία μέσω κοπής και κόλλησης, η ζωή θα αλλάξει δραματικά.

Αρχικά, ο τόρος έχει ευθείες γραμμές που περιστρέφονται και επιστρέφουν στο σημείο εκκίνησης.

Σε έναν παραμορφωμένο τόρο, φαίνονται κυρτά, αλλά στους κατοίκους ενός επίπεδου τόρου, φαίνονται ίσιοι. Και αφού το φως ταξιδεύει σε ευθεία γραμμή, τότε αν κοιτάξετε απευθείας προς οποιαδήποτε κατεύθυνση, θα δείτε τον εαυτό σας από πίσω.

Λες και, στο αρχικό κομμάτι χαρτί, το φως πέρασε από μέσα σου, πήγε στην αριστερή άκρη και μετά επανεμφανίστηκε στη δεξιά, όπως σε βιντεοπαιχνίδι.

Εδώ είναι ένας άλλος τρόπος για να το σκεφτείτε: εσείς (ή μια ακτίνα φωτός) διασχίζετε μια από τις τέσσερις άκρες και βρίσκεστε σε ένα νέο δωμάτιο, αλλά στην πραγματικότητα είναι το ίδιο δωμάτιο, μόνο από διαφορετική οπτική γωνία. Περιπλανώμενος σε ένα τέτοιο σύμπαν, θα συναντήσετε έναν ατελείωτο αριθμό αντιγράφων του αρχικού δωματίου.

Αυτό σημαίνει ότι θα πάρετε άπειρα αντίγραφα του εαυτού σας όπου κι αν κοιτάξετε. Αυτό είναι ένα είδος καθρέφτη, μόνο που αυτά τα αντίγραφα δεν είναι ακριβώς αντανακλάσεις.

Στον τόρο, καθένα από αυτά αντιστοιχεί σε έναν ή τον άλλο βρόχο, κατά μήκος του οποίου το φως επιστρέφει πίσω σε εσάς.

Με τον ίδιο τρόπο, παίρνουμε έναν επίπεδο τρισδιάστατο τόρο κολλώντας τις απέναντι όψεις ενός κύβου ή άλλου κουτιού. Δεν θα μπορέσουμε να απεικονίσουμε αυτόν τον χώρο μέσα σε έναν συνηθισμένο άπειρο χώρο - απλά δεν θα χωρέσει - αλλά θα μπορούμε να κάνουμε αφηρημένες εικασίες για τη ζωή μέσα σε αυτόν.

Εάν η ζωή σε έναν δισδιάστατο τόρο είναι σαν μια ατελείωτη δισδιάστατη διάταξη πανομοιότυπων ορθογώνιων δωματίων, τότε η ζωή σε έναν τρισδιάστατο τόρο είναι σαν μια ατελείωτη τρισδιάστατη διάταξη πανομοιότυπων κυβικών δωματίων. Επίσης, θα δείτε έναν άπειρο αριθμό δικών σας αντιγράφων.

Ο τρισδιάστατος τόρος είναι μόνο μία από τις δέκα παραλλαγές του πεπερασμένου επίπεδου κόσμου. Υπάρχουν επίσης άπειροι επίπεδοι κόσμοι - για παράδειγμα, ένα τρισδιάστατο ανάλογο ενός άπειρου κυλίνδρου. Κάθε ένας από αυτούς τους κόσμους θα έχει το δικό του «δωμάτιο γέλιου» με «αντανακλάσεις».

Θα μπορούσε το σύμπαν μας να είναι μια από τις επίπεδες μορφές;

Όταν κοιτάζουμε στο διάστημα, δεν βλέπουμε άπειρο αριθμό δικών μας αντιγράφων. Ανεξάρτητα από αυτό, η εξάλειψη των επίπεδων σχημάτων δεν είναι εύκολη. Πρώτον, όλα έχουν την ίδια τοπική γεωμετρία με τον Ευκλείδειο χώρο, επομένως δεν θα είναι δυνατό να τα διακρίνουμε με τοπικές μετρήσεις.

Ας υποθέσουμε ότι είδατε ακόμη και το δικό σας αντίγραφο, αυτή η μακρινή εικόνα δείχνει μόνο πώς φαίνεστε εσείς (ή ο γαλαξίας σας συνολικά) στο μακρινό παρελθόν, αφού το φως έχει διανύσει πολύ δρόμο μέχρι να φτάσει σε εσάς. Ίσως βλέπουμε ακόμη και τα δικά μας αντίγραφα - αλλά αλλαγμένα πέρα από την αναγνώριση. Επιπλέον, διαφορετικά αντίγραφα βρίσκονται σε διαφορετικές αποστάσεις από εσάς, επομένως δεν είναι όμοια. Και επιπλέον, τόσο μακριά που ακόμα δεν θα δούμε τίποτα.

Για να ξεπεράσουν αυτές τις δυσκολίες, οι αστρονόμοι συνήθως δεν αναζητούν αντίγραφα του εαυτού τους, αλλά για επαναλαμβανόμενα χαρακτηριστικά στο πιο μακρινό ορατό φαινόμενο - την κοσμική ακτινοβολία υποβάθρου μικροκυμάτων, αυτό είναι ένα λείψανο της Μεγάλης Έκρηξης. Στην πράξη, αυτό σημαίνει ότι αναζητάτε ζεύγη κύκλων με ταιριαστά μοτίβα θερμών και ψυχρών σημείων - υποτίθεται ότι είναι τα ίδια, μόνο από διαφορετικές πλευρές.

Οι αστρονόμοι πραγματοποίησαν ακριβώς μια τέτοια έρευνα το 2015 χάρη στο διαστημικό τηλεσκόπιο Planck. Συγκεντρώνουν δεδομένα για τους τύπους συμπίπτοντων κύκλων που αναμένουμε να δούμε μέσα σε έναν επίπεδο 3D torus ή άλλο επίπεδο 3D σχήμα - μια λεγόμενη πλάκα - αλλά δεν βρήκαν τίποτα. Αυτό σημαίνει ότι εάν ζούμε σε έναν τόρο, τότε φαίνεται να είναι τόσο μεγάλος που τυχόν επαναλαμβανόμενα θραύσματα βρίσκονται έξω από το παρατηρήσιμο σύμπαν.

Σφαιρικό σχήμα

Είμαστε πολύ εξοικειωμένοι με τις δισδιάστατες σφαίρες - αυτή είναι η επιφάνεια μιας μπάλας, ενός πορτοκαλιού ή της Γης. Τι γίνεται όμως αν το σύμπαν μας είναι μια τρισδιάστατη σφαίρα;

Το να σχεδιάσεις μια τρισδιάστατη σφαίρα είναι δύσκολο, αλλά είναι εύκολο να το περιγράψεις με μια απλή αναλογία. Εάν μια δισδιάστατη σφαίρα είναι μια συλλογή όλων των σημείων σε σταθερή απόσταση από κάποιο κεντρικό σημείο σε συνηθισμένο τρισδιάστατο χώρο, μια τρισδιάστατη σφαίρα (ή «τρίσφαιρα») είναι μια συλλογή όλων των σημείων σε σταθερή απόσταση από κάποια κεντρικό σημείο σε τετραδιάστατο χώρο.

Η ζωή μέσα σε μια τρίσφαιρα είναι πολύ διαφορετική από τη ζωή σε επίπεδο χώρο. Για να το οπτικοποιήσετε, φανταστείτε ότι είστε ένα δισδιάστατο ον σε μια δισδιάστατη σφαίρα. Η δισδιάστατη σφαίρα είναι ολόκληρο το Σύμπαν, επομένως δεν μπορείτε να δείτε τον τρισδιάστατο χώρο που σας περιβάλλει και δεν μπορείτε να μπείτε σε αυτόν. Σε αυτό το σφαιρικό σύμπαν, το φως ταξιδεύει από το συντομότερο μονοπάτι: σε μεγάλους κύκλους. Αλλά αυτοί οι κύκλοι σας φαίνονται ευθύς.

Τώρα φανταστείτε ότι εσείς και ο δισδιάστατος φίλος σας κάνετε παρέα στον Βόρειο Πόλο και αυτός πήγε μια βόλτα. Απομακρυνόμενοι, στην αρχή θα μειωθεί σταδιακά στον οπτικό σας κύκλο - όπως στον συνηθισμένο κόσμο, αν και όχι τόσο γρήγορα όσο έχουμε συνηθίσει. Αυτό συμβαίνει γιατί όσο μεγαλώνει ο οπτικός σας κύκλος, ο φίλος σας καταλαμβάνει όλο και λιγότερο.

Μόλις όμως ο φίλος σας διασχίσει τον ισημερινό, συμβαίνει κάτι περίεργο: αρχίζει να αυξάνεται σε μέγεθος, αν και στην πραγματικότητα συνεχίζει να απομακρύνεται. Αυτό συμβαίνει γιατί το ποσοστό που καταλαμβάνουν στον οπτικό σας κύκλο αυξάνεται.

Τρία μέτρα από το Νότιο Πόλο, ο φίλος σας θα μοιάζει σαν να στέκεται τρία μέτρα από εσάς.

Έχοντας φτάσει στον Νότιο Πόλο, θα γεμίσει πλήρως ολόκληρο τον ορατό σας ορίζοντα.

Και όταν δεν υπάρχει κανείς στο Νότιο Πόλο, ο οπτικός σας ορίζοντας θα είναι ακόμα πιο ξένος - είστε εσείς. Αυτό συμβαίνει επειδή το φως που εκπέμπετε θα εξαπλωθεί σε όλη τη σφαίρα μέχρι να επιστρέψει.

Αυτό επηρεάζει άμεσα τη ζωή στο 3D βασίλειο. Κάθε σημείο της τρίσφαιρας έχει ένα αντίθετο, και αν υπάρχει ένα αντικείμενο εκεί, θα το δούμε σε ολόκληρο τον ουρανό. Αν δεν υπάρχει τίποτα εκεί, θα δούμε τους εαυτούς μας στο παρασκήνιο - σαν να ήταν η εμφάνισή μας πάνω σε ένα μπαλόνι, μετά να στρεφόταν προς τα έξω και να φουσκώσει σε ολόκληρο τον ορίζοντα.

Αλλά παρόλο που η τρίσφαιρα είναι το θεμελιώδες μοντέλο για τη σφαιρική γεωμετρία, απέχει πολύ από το μόνο δυνατό διάστημα. Όπως κατασκευάσαμε διαφορετικά επίπεδα μοντέλα κόβοντας και κολλώντας κομμάτια του Ευκλείδειου χώρου, έτσι μπορούμε να κατασκευάσουμε σφαιρικά κολλώντας κατάλληλα κομμάτια τρίσφαιρας. Καθένα από αυτά τα κολλημένα σχήματα θα έχει, όπως και ο τόρος, το αποτέλεσμα ενός "δωμάτιου γέλιου", μόνο ο αριθμός των δωματίων σε σφαιρικά σχήματα θα είναι πεπερασμένος.

Τι γίνεται αν το σύμπαν μας είναι σφαιρικό;

Ακόμη και οι πιο ναρκισσιστές από εμάς δεν βλέπουν τον εαυτό μας ως φόντο αντί για τον νυχτερινό ουρανό. Όμως, όπως στην περίπτωση ενός επίπεδου τόρου, το γεγονός ότι δεν βλέπουμε κάτι δεν σημαίνει καθόλου ότι δεν υπάρχει. Τα όρια ενός σφαιρικού σύμπαντος μπορεί να είναι μεγαλύτερα από τα όρια του ορατού κόσμου και το φόντο απλά δεν είναι ορατό.

Αλλά σε αντίθεση με έναν τόρο, ένα σφαιρικό σύμπαν μπορεί να ανιχνευθεί χρησιμοποιώντας τοπικές μετρήσεις. Τα σφαιρικά σχήματα διαφέρουν από τον άπειρο Ευκλείδειο χώρο όχι μόνο σε παγκόσμια τοπολογία, αλλά και σε μικρή γεωμετρία. Για παράδειγμα, εφόσον οι ευθείες στη σφαιρική γεωμετρία είναι μεγάλοι κύκλοι, τα τρίγωνα εκεί είναι «παχουλά» από τα Ευκλείδεια και το άθροισμα των γωνιών τους ξεπερνά τις 180 μοίρες.

Βασικά, η μέτρηση των κοσμικών τριγώνων είναι ο κύριος τρόπος για να ελέγξουμε πόσο καμπύλο είναι το σύμπαν. Για κάθε ζεστό ή κρύο σημείο στο κοσμικό υπόβαθρο μικροκυμάτων, η διάμετρος και η απόστασή του από τη Γη, που σχηματίζουν τις τρεις πλευρές του τριγώνου, είναι γνωστές. Μπορούμε να μετρήσουμε τη γωνία που σχηματίζει το σημείο στον νυχτερινό ουρανό - και αυτή θα είναι μια από τις γωνίες του τριγώνου. Στη συνέχεια, μπορούμε να ελέγξουμε εάν ο συνδυασμός των μηκών των πλευρών και του αθροίσματος των γωνιών αντιστοιχεί σε επίπεδη, σφαιρική ή υπερβολική γεωμετρία (όπου το άθροισμα των γωνιών του τριγώνου είναι μικρότερο από 180 μοίρες).

Οι περισσότεροι από αυτούς τους υπολογισμούς, μαζί με άλλες μετρήσεις καμπυλότητας, υποθέτουν ότι το σύμπαν είναι είτε εντελώς επίπεδο είτε πολύ κοντά σε αυτό. Μια ερευνητική ομάδα πρότεινε πρόσφατα ότι ορισμένα από τα δεδομένα του 2018 από το διαστημικό τηλεσκόπιο Planck μιλούν περισσότερο υπέρ ενός σφαιρικού σύμπαντος, αν και άλλοι ερευνητές υποστήριξαν ότι τα στοιχεία που παρουσιάστηκαν θα μπορούσαν να αποδοθούν σε στατιστικό λάθος.

Υπερβολική γεωμετρία

Σε αντίθεση με μια σφαίρα, η οποία κλείνει στον εαυτό της, η υπερβολική γεωμετρία ή ο χώρος με αρνητική καμπυλότητα ανοίγει προς τα έξω. Αυτή είναι η γεωμετρία του καπέλου με το φαρδύ γείσο, του κοραλλιογενούς υφάλου και της σέλας. Το βασικό μοντέλο της υπερβολικής γεωμετρίας είναι ο άπειρος χώρος, όπως ακριβώς ο επίπεδος Ευκλείδειος. Αλλά δεδομένου ότι ένα υπερβολικό σχήμα διαστέλλεται προς τα έξω πολύ πιο γρήγορα από ένα επίπεδο, δεν υπάρχει τρόπος να χωρέσει ούτε ένα δισδιάστατο υπερβολικό επίπεδο μέσα στον συνηθισμένο Ευκλείδειο χώρο, αν δεν θέλουμε να παραμορφώσουμε τη γεωμετρία του. Αλλά υπάρχει μια παραμορφωμένη εικόνα του υπερβολικού επιπέδου που είναι γνωστό ως δίσκος Πουανκαρέ.

Από την άποψή μας, τα τρίγωνα κοντά στον οριακό κύκλο φαίνονται να είναι πολύ μικρότερα από εκείνα κοντά στο κέντρο, αλλά από την άποψη της υπερβολικής γεωμετρίας, όλα τα τρίγωνα είναι ίδια. Αν προσπαθούσαμε να απεικονίσουμε αυτά τα τρίγωνα πραγματικά με το ίδιο μέγεθος - ίσως χρησιμοποιώντας ελαστικό υλικό και φουσκώνοντας κάθε τρίγωνο με τη σειρά του, κινούμενοι από το κέντρο προς τα έξω - ο δίσκος μας θα έμοιαζε με ένα καπέλο με φαρδύ γείσο και θα λύγιζε όλο και περισσότερο. Και όσο πλησιάζετε πιο κοντά στα σύνορα, αυτή η καμπυλότητα θα έβγαινε εκτός ελέγχου.

Στη συνηθισμένη Ευκλείδεια γεωμετρία, η περιφέρεια ενός κύκλου είναι ευθέως ανάλογη με την ακτίνα του, αλλά στην υπερβολική γεωμετρία, ο κύκλος αυξάνεται εκθετικά σε σχέση με την ακτίνα. Ένας σωρός από τρίγωνα σχηματίζεται κοντά στο όριο του υπερβολικού δίσκου

Λόγω αυτού του χαρακτηριστικού, οι μαθηματικοί θέλουν να λένε ότι είναι εύκολο να χαθείς στον υπερβολικό χώρο. Εάν ο φίλος σας απομακρυνθεί από εσάς στον κανονικό Ευκλείδειο χώρο, θα αρχίσει να απομακρύνεται, αλλά μάλλον αργά, επειδή ο οπτικός σας κύκλος δεν μεγαλώνει τόσο γρήγορα. Στον υπερβολικό χώρο, ο οπτικός σας κύκλος επεκτείνεται εκθετικά, έτσι ο φίλος σας σύντομα θα συρρικνωθεί σε ένα απείρως μικρό σημείο. Έτσι, αν δεν έχετε ακολουθήσει τη διαδρομή του, είναι απίθανο να τον βρείτε αργότερα.

Ακόμη και στην υπερβολική γεωμετρία, το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι μικρότερο από 180 μοίρες - για παράδειγμα, το άθροισμα των γωνιών ορισμένων τριγώνων από το μωσαϊκό του δίσκου Πουανκαρέ είναι μόνο 165 μοίρες.

Οι πλευρές τους φαίνονται έμμεσες, αλλά αυτό συμβαίνει επειδή εξετάζουμε την υπερβολική γεωμετρία μέσα από έναν παραμορφωτικό φακό. Για έναν κάτοικο του δίσκου Πουανκαρέ, αυτές οι καμπύλες είναι στην πραγματικότητα ευθείες γραμμές, επομένως ο πιο γρήγορος τρόπος για να φτάσετε από το σημείο Α στο σημείο Β (και τα δύο στην άκρη) είναι μέσω μιας τομής στο κέντρο.

Υπάρχει ένας φυσικός τρόπος για να φτιάξετε ένα τρισδιάστατο ανάλογο του δίσκου Poincaré - πάρτε μια τρισδιάστατη μπάλα και γεμίστε την με τρισδιάστατα σχήματα, τα οποία σταδιακά μειώνονται καθώς πλησιάζουν την οριακή σφαίρα, όπως τα τρίγωνα σε έναν δίσκο Poincaré. Και, όπως συμβαίνει με τα επίπεδα και τις σφαίρες, μπορούμε να δημιουργήσουμε μια ολόκληρη σειρά από άλλους τρισδιάστατους υπερβολικούς χώρους κόβοντας κατάλληλα κομμάτια μιας τρισδιάστατης υπερβολικής σφαίρας και κολλώντας τις όψεις της.

Λοιπόν, είναι το Σύμπαν μας υπερβολικό;

Η υπερβολική γεωμετρία, με τα στενά τρίγωνά της και τους κύκλους που μεγαλώνουν εκθετικά, δεν μοιάζει καθόλου με τον χώρο γύρω μας. Πράγματι, όπως έχουμε ήδη σημειώσει, οι περισσότερες από τις κοσμολογικές μετρήσεις κλίνουν προς ένα επίπεδο σύμπαν.

Αλλά δεν μπορούμε να αποκλείσουμε ότι ζούμε σε έναν σφαιρικό ή υπερβολικό κόσμο, επειδή μικρά θραύσματα και των δύο κόσμων φαίνονται σχεδόν επίπεδα. Για παράδειγμα, το άθροισμα των γωνιών των μικρών τριγώνων στη σφαιρική γεωμετρία είναι μόνο ελαφρώς περισσότερο από 180 μοίρες και στην υπερβολική γεωμετρία είναι μόνο ελαφρώς μικρότερο.

Γι' αυτό οι αρχαίοι νόμιζαν ότι η Γη ήταν επίπεδη - η καμπυλότητα της Γης δεν είναι ορατή με γυμνό μάτι. Όσο μεγαλύτερο είναι το σφαιρικό ή υπερβολικό σχήμα, τόσο πιο επίπεδο κάθε μέρος του, επομένως, εάν το Σύμπαν μας έχει εξαιρετικά μεγάλο σφαιρικό ή υπερβολικό σχήμα, το ορατό τμήμα του είναι τόσο κοντά στο επίπεδο που η καμπυλότητά του μπορεί να ανιχνευθεί μόνο με εξαιρετικά ακριβή όργανα. και δεν τα έχουμε εφεύρει ακόμα….